หลังจากบล๊อคที่แล้ว [What is PI?] /me ได้เล่าไปแล้วว่า \pi มีที่มาจากไหน และ มันมีคุณสมบัติที่น่าสนใจยังไง

หนึ่งในพฤติกรรมแปลกประหลาดของ \pi คือการที่ไม่สามารถหาอัตราส่วนที่แน่นอนของเลขๆนี้ได้เลย และกลายเป็นโจทย์ที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์หลายๆคน

ในปี 1761 Johann Heinrich Lambert ก็สามารถยืนยันพฤติกรรม “ความเป็นอตรรกยะ” ของตัวเลข 3.14159… ได้สำเร็จเป็นคนแรก โดยใช้คุณสมบัติของ continued fraction ของค่า tan(x) และหลังจากนั้นก็มีอีกหลายๆคนกับหลายๆวิธีในการศึกษาความเป็นอตรรกยะของ \pi

และ หนึ่งในบทพิสูจน์(proof) ที่น่าจะเข้าใจได้ง่ายที่สุด ก็คือ Niven’s proof ที่เขียนขึ้นในปี 1946

//มาลองดูกัน

Niven’s proof

คำเตือน : ถึงแม้ว่าจะเป็นบทพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด(?) แต่ก็เต็มไปด้วยสัญลักษณ์ถั่วงอก และซิมม่า มากมาย ดังนั้นไปตั้งใจอ่าน Calculus 101 ก่อนซะนะหนูๆ

การพิสูจน์ของ Niven จะเป็นการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (Proof by contradiction) ซึ่งหมายความว่า เราจะตั้งสมมติฐานว่า

\pi สามารถแทนได้ด้วย \frac{a}{b}

แล้วจะนำไปสู่ข้อขัดแย้งบางอย่าง ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า เป็นไปไม่ได้ที่ \pi จะสามารถที่จะแทนด้วย \frac{a}{b}

เริ่มละนะ…

Suppose ว่า \pi จะสามารถที่จะแทนด้วย \frac{a}{b} โดยมี a,b เป็นตัวเลขจำนวนเต็มบวก และ b มีค่ามากกว่า 0

Defined //ขั้นนี้ก็คือขั้นตอนที่ Niven เสกฟังก์ชันอะไรซักอย่างออกมาก

f(x) = \frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}

และ

F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n)}(x)

ซึ่งหมายความว่า ตอนนี้เราจะมีจำนวนเต็มบวก a, b, และฟังก์ชั่น f(x), F(x) โดย F(x) เป็นผลรวมของอนุพันอันดับคู่ของ f(x)

Keep claim and Go on…

หลังจากมีอุปกรณ์ที่จะใช้แล้ว มาดูว่ามันมีคุณสมบัติที่น่าสนใจอะไรบ้าง?

Proposition#1

f(0) = \frac{0^{n}(a-b(0))^{n}}{n!} = 0

Proposition#2

f(\pi) = \frac{{\frac{a}{b}}^{n}(a-b(\frac{a}{b}))^{n}}{n!}= \frac{{\frac{a}{b}}^{n}(0)^{n}}{n!} = 0

Proposition#3

f(\pi-x)\\\\  =f(\frac{a}{b}-x)\\\\  =\frac{(\frac{a}{b}-x)^{n}(a-b(\frac{a}{b}-x))^{n}}{n!}\\\\  =\frac{(a-bx)^{n}(bx)^{n}}{b^{n}n!}\\\\  =\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}\\\\  =f(x)\\\\

Proposition#4
หากเรากระจายพจน์ x^{n} เข้าไปในส่วนของ (a-bx)^{n} จากทฤษฎีพหุนาม เราจะได้ว่าจริงๆแล้ว

f(x) = \frac{c_{0}x^{n}+c_{1}x^{n+1}+..+c_{n}x^{2n}}{n!}

โดยมี \frac{c_{k}}{n!} เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^{n+k} โดยที่ ทุกๆ c_{k} จะต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็มเพราะเกิดจากผลคูณกันระหว่าง a, b และค่าคงที่เท่านั้น

หรือ พูดอีกอย่างคือ f(x) แทนได้ด้วยผลบวกของพจน์ x^{n} จนถึง x^{2n} โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มหารด้วย n!

Proposition#5
จาก Proposition#4 เราอาจจะกล่าวอีกแบบได้ว่า

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}x^{n+k}}{n!}

ดังนั้น

f^{(1)}(x)   \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{\text{d}}{\text{d}x} (\frac{c_{k}x^{n+k}}{n!})  \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}(n+k)x^{n+k-1}}{n!}

f(x) จะโดนลดดีกรี(เลขยกกำลัง) 1 ,พจน์ที่มีดีกรี 1 จะโดยเปลี่ยนเป็นค่าคงที่ และพจน์ที่เดิมเป็นค่าคงที่ ก็จะหายไปเพราะ “อนุพันธ์ของค่าคงที่ = 0”

นอกจากนี้ก็ยังสามารถหา f^{(2)}, f^{(3)}, … ได้ว่า

f^{(2)}(x)   \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)x^{n+k-2}}{n!}
f^{(3)}(x)   \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)(n+k-2)x^{n+k-3}}{n!}

และสำหรับ f^{(n+k)} ก็จะเหลือเพียงแค่ค่าคงที่ 1 พจน์

f^{(n+k)}(x)   \\\\= \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(1)x^{0}}{n!}  \\\\= \frac{c_{k}(n+k)!x^{0}}{n!}  \\\\= \frac{c_{k}(n+k)!}{n!}

และสำหรับทุกๆพจน์ f^{(m)}(x) โดย m > n+k จะมีค่าเท่ากับ 0 เพราะ “อนุพันธ์ของค่าคงที่ = 0” และที่น่าสนใจมากๆคือ

* ทุกๆพจน์ใน f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), f^{(3)}(x), ... f^{(n-1)}(x) จะมี x เป็นตัวประกอบ

* จาก Proposition#4 : f(x) ประกอบด้วยพจน์ดีกรี n ถึง 2n

* f^{(n)}(x), f^{(n+1)}(x), f^{(n+2)}(x), ... f^{(n+k)}(x) จะมีมีค่าคงที่ C เกิดขึ้นเสมอ เพราะทุกๆการคิดอนุพันธ์จะเป็นการลดดีกรี 1 และเมื่อลดดีกรี n จะเริ่มทำให้พจน์ x^{n} กลายเป็นดีกรี 0 หรือ ค่าคงที่

และ ค่าคงที่ของ f^{(n)}(x) จะมีเท่ากับ [จินตนาการพจน์ \frac{c_{0}x^{n}}{n!} ค่อยๆโดยดิฟไป n รอบ]

C_{0} = \frac{c_{0}(n)(n-1)(n-2)...(1)}{n!} = \frac{c_{0}n!}{n!}

และถ้าคิดดีๆ f^{(n+k)}(x) ก็ควรจะมีค่าคงที่ที่เกิดจากพจน์ \frac{c_{k}x^{n+k}}{n!} ดังนั้น

C_{k} = \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(1)}{n!} = \frac{c_{k}(n+k)!}{n!}

โดยทุกๆค่าคงที่ที่เกิดขึ้นนี้ จะต้องเป็นค่าจำนวนเต็มเสมอ เพราะ (n+k)! = (n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n!) ดังนั้น n! ต้องหาร (n+k)! ลงตัว และ c_{k} ก็เป็นจำนวนเต็ม

* f^{(n+k+1)}(x), f^{(n+k+2)}(x), f^{(n+k+3)}(x), ... จะได้ 0 เสมอ

Proposition#6
* f^{(i)}(0) เป็นจำนวนเต็ม สำหรับ ทุกค่า i ที่เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะเมื่อกลับไปพิจารณา Proposition#5 ทุกๆพจน์ที่เป็นค่าคงที่ จะต้องเป็นจำนวนเต็ม และทุกพจน์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะมี x เป็นตัวประกอบ เมื่อแทนค่า x=0 แล้ว พจน์นั้นก็จะได้เท่ากับ 0

Proposition#7
* จาก Proposition#3 f(x) = f(\pi-x) จากกฏลูกโช่ของการหาอนุพันธ์ (Chain Rule) จะได้ว่า

\frac{\text{d}}{\text{d}(x)} f(x)\\\\  = \frac{\text{d}}{\text{d}(x)} f(\pi-x)\\\\  =\frac{\text{d}f(\pi-x)}{\text{d}(\pi-x)}  \frac{\text{d}(\pi-x)}{\text{d}(x)} \\\\  =f'(\pi-x)\frac{\text{d}(\pi-x)}{\text{d}(x)} \\\\  =-f^{(1)}(\pi-x)

ทำนองเดียวกัน กับ f^{(2)}(x), f^{(3)}(x), ... จะได้ว่า

f^{(i)}(x)=\pm f^{(i)}(\pi-x)

เมื่อแทน x =0 ก็จะได้ว่า f^{(i)}(0)=\pm f^{(i)}(\pi) และ f^{(i)}(\pi) ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นเดียวกัน

สุดท้ายเราก็ทำมาถึงเป้าหมายที่ 1 แล้ว

Claim#1 : F(0) และ F(\pi) จะต้องเป็นจำนวนเต็ม

เพราะจากนิยาม

F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n)}(x)

และจาก Proposition#6, Proposition#7 ซึ่งบอกว่า f^{i}(0) และ f^{i}(\pi) เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก i ใดๆ

It’s so long….

ถึงคราวที่เราจะมาสนใจ F(x) กันบ้างละ
Proposition#8 Niven บอกว่าหากเราลองหาอนุพันธ์ของ F^{(2)}(x) เราจะพบความน่าสนใจอย่างหนึ่ง คือ

F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n)}(x)\rightarrow1
F^{(2)}(x) = f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n+2)}(x)\rightarrow2

เมื่อเอาสมการ 1+2 จะได้ว่า

F^{(2)}(x) + F(x) = f(x) + (-1)^{n}f^{(2n+2)}(x)

แต่จาก Proposition#4 f(x) มีดีกรีสูงสุดแต่ 2n ดังนั้น f^{(2n+2)}(x) จึงต้องมีค่าเป็น 0 ดังนั้น

F^{(2)}(x) + F(x) = f(x)

Proposition#9
อยู่ๆ Niven ก็เสกสมการที่น่าสนใจขึ้นมาอีก 1 สมการ ลอง

\frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)]

เมื่อใช้กฏการคูณของอนุพันธ์ : ดิฟหน้าคูณหลัง = หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า //ท่องตามกันอีกเที่ยวนะคะ

\frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)]\\\\  = \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x)] - \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F(x)cos(x)]\\\\  = F^{(1)}(x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}sin(x) + sin(x)F^{(2)}(x) - F(x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}[cos(x)]-cos(x)F^{(1)}(x)\\\\  = F^{(1)}(x)cos(x) + sin(x)F^{(2)}(x) + F(x)sin(x)-cos(x)F^{(1)}(x)\\\\  = (F^{(2)}(x) + F(x))sin(x)\\\\

และจาก Proposition#8

\frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)] = f(x)sin(x)

Ohhhh Miracle!!

Proposition#10
องค์ประกอบสุดท้ายของ Niven’s proof สิ่งที่เราต้องการคือ \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x) dx โดย

\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x) dx \\\\  =\int_{0}^{\pi}  \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)] dx\\\\  =[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)]_{0}^{\pi}\\\\  =[F^{(1)}(\pi)sin(\pi) - F(\pi)cos(\pi)] - [F^{(1)}(0)sin(0) - F(0)cos(0)]\\\\  =F(\pi) - F(0)\\\\

เราจึงมาถึง

Claim#2
\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx =F(\pi) - F(0) และประกอบกับข้อมูลที่ได้จาก Clain#1 จะได้ว่า \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx จะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น

What’s Next??

คราวนี้ก็มาถึงด่านสุดท้ายของบทพิสูจน์ Niven อ้างว่า
สำหรับทุกๆ x โดยที่ 0 < x < \pi เราจะได้ว่า ทุกๆ x^{n} > 0, ทุกๆ (a-bx)^{n} > 0 และ ทุกๆ sin(x) > 0 ดังนั้น

f(x)sin(x) > 0 สำหรับทุกๆค่าในช่วง 0 < x < \pi

และเนื่องจาก x < \pi ดังนั้น x^{n} < \pi^{n} กำหนดเป็นอสมการ #3
และเนื่องจาก x > 0 ดังนั้น (a-bx) < (a) และ (a-bx)^{n} < a^{n} กำหนดเป็นอสมการ #4

จากอสมการ 3,4 จะสรุปได้ว่า

f(x) = \frac{x^{n}(a-b(x))^{n}}{n!} < \frac{\pi^{n}(a)^{n}}{n!}

และเมื่อคูณ f(x) ด้วย sin(x) ซึ่งเมื่อ 0 < x < \pi แล้ว 0 < sin(x) < 1 ดังนั้น

f(x)sin(x) < \frac{\pi^{n}(a)^{n}}{n!}

หลังจากนั้นเราลองใส่อินทิเกตทั้งสองข้างของอสมการ bound for the integral เราจะได้ว่า

0 < \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx < \frac{\pi^{n+1}(a)^{n}}{n!}

ซึ่งอสมการนี้จะถูกต้องสำหรับทุกค่าจำนวนเต็มบวก n ใดๆ แต่หากเราใช้ n เป็นค่าเยอะมากๆ เราจะสามารถทำให้

\frac{\pi^{n+1}(a)^{n}}{n!} < 1

หมายความว่า ถ้า n ใหญ่มากพอ จะทำให้ 0 < \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx มีค่าน้อยกว่า 1 ได้ แต่ต้องมากกว่า 0 (ไม่เป็นจำนวนเต็ม)

จาก Claim #1,#2 ที่กล่าวว่า \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx จะต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx จะต้องสามารถเป็นค่าจำนวนเต็ม และ ไม่ใช่จำนวนเต็มพร้อมๆกัน เมื่อให้ค่า n มากๆ

It’s contradiction

เราจึงสรุปได้ว่า ถ้า \pi สามารถแทนได้ด้วยสัดส่วนของจำนวนเต็ม จะนำไปสู่ความขัดแย้ง ดังนั้น \pi จึงไม่สามารถแทนได้ด้วยสัดส่วนของจำนวนเต็ม QED.

Math is hard and wonderful

แค่คุณสมบัติเล็กๆนี้ นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลากว่า 2,000 ปีในการพิสูจน์มัน นอกจากความเป็นอตรรกยะแล้ว \pi ยังมีคุณสมบัติอีกมากให้เราค้นหา เช่น normality, transcendental, …

และไม่ใช่แค่ \pi โลกของคณิตศาสตร์ยังมีตัวเลขอีกมากมายที่รอใครซักคนที่ขุดคุ้ย อนาคตอาจจะเป็นคุณก็ได้ :))

//ยาววววววสาสสสสส

Tell your friend about thisShare on Facebook
Facebook
0Tweet about this on Twitter
Twitter
Share on Google+
Google+
0