Mathematics หรือ คณิตศาสตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยเรื่องเกี่ยวกับการคำนวน และเป็นวิชาที่สร้างความไหวหวั่นให้กับหลายๆคนมานับ 1,000 ปี โดย Geometry ก็คือหนึ่งใน 2 สาขาเก่าแก่ (คู่กับ Arithmetic) และเป็นจุดกำเนิดของหลายๆวิชาในปัจจุบัน ไม่ว่าจะเป็น Calculus, Concept of Vectors, Topology และมีส่วนสำคัญในอีกหลายๆวิชา ไม่ว่าจะเป็น Theory of relativity หรือ String theory

อารยธรรมสำคัญที่วางรากฐานให้กับ Geometry (เรขาคณิต) ก็หนีไม่พ้น “อารยธรรมกรีซโบราณ”

อารยธรรมกรีซ เริ่มต้นศึกษาเรขาคณิตมาตั้งแต่ 600-500 ปีก่อนคริสตกาล มีผลงานสำคัญ คือ The Elements ของ Euclid ซึ่งรวบรวมองค์ความรู้ทางเรขาคณิตจากนักคณิตศาสตร์หลายๆคน และเรียบเรียงไว้อย่างเป็นระบบ แนวคิดสำคัญหลายๆอย่าง โดยเฉพาะ Euclid’s Postulates (สัจพจน์ของยูคลิค) ก็ยังคงเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตจนถึงปัจจุบัน //ถึงจะเปลี่ยนแปลงไปเยอะก็เถอะ

เรขาคณิตในยุคกรีซ เรียกได้ว่าเฟื่องฟูมาก เพราะถือเป็นศาสตร์ที่สามารถเข้าถึงความจริงสูงสุดได้ ไม่ใช่แค่การประมาณ (approximations) หรือ ลองผิดลองถูกไปเรื่อยๆ (trial-and-error) เหมือนศาสตร์อื่นๆ ทำให้มีนักคิดมากมายทุ่มเทศึกษา

แต่อย่างไรก็ตาม ก็ยังคงมีคำถามสำคัญ 3 ข้อ ที่นักคิดในสมัยนั้นไม่สามารถแก้ได้ ส่งต่อมาจนถึงปัจจุบัน และใช้เวลาอีกหลายร้อยปี จนพึ่งมาแก้ไขในช่วงปี 80s – 90s แต่คำตอบที่ได้ก็คือ “ไม่มีคำตอบสำหรับคำถามทั้ง 3 ข้อ” //อ่าวยังไงๆ

โดยปัญหาทั้ง 3 ข้อนี้ก็คือ

  • Squaring the Circle
  • Trisecting an Angle
  • Doubling a Cube

สิ่งที่เหมือนกันของคำถามทั้ง 3 ข้อ คือ เป็นการหากระบวนการเพื่อสร้างรูปทรงที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดบางอย่าง โดยใช้เพียงไม้ยาวสำหรับขีดเส้นตรง (an unmarked straightedge) และ วงเวียน (a compass)

และข้อจำกัดสำคัญ คือ สามารถใช้อุปกรณ์แค่ 2 อย่างนี้เท่านั้น ห้ามแม้กระทั้ง ห้ามใช้รอยขีดเพื่อวัดระยะ สามารถใช้แค่ไม้ยาวเพื่อขีดเส้นตรงเท่านั้น เราเรียกวิธีการแบบนี้ว่า plane methods ถ้าเป็นวิธีการที่ใช้เครื่องมือนอกเหนือจากนี้ ถือว่าเป็นการทำผิดกติกา ไม่ใช้คำตอบที่นักคิดชาวกรีซต้องการ

Squaring the Circle

จงหาวิธีการที่สร้างรูปสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับรูปวงกลมที่กำหนดให้

แรกเริ่มเดิมที่แล้วการศึกษาเรขาคณิต เริ่มมาจากการศึกษาเส้นตรง มุม แล้วเพิ่มเติมไปเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ต่อมามีความทะเยอทะยานต่อไปถึงการศึกษาเส้นโค้ง และเส้นโค้งที่ง่ายที่สุด ก็คือ วงกลม ที่สามารถสร้างอย่างง่ายดายได้โดยใช้วงเวียน

แต่การศึกษาวงกลมเป็นเรื่องที่ค่อนข้างยากมาก เพราะเป็นรูปทรงที่ไม่มีเหลี่ยมไม่มีมุม ไม่สามารถหาค่าพื้นที่ที่แน่นอนของมันได้ แต่ก็ยังมีความพยายามจนพบกว่า พื้นที่วงกลมสามารถแทนได้ด้วย kr^2 โดย k คือ ค่าคงที่ที่เป็นสัดส่วนระหว่างเส้นรอบรูปแล้วเส้นผ่านศูนย์กลาง เรียกค่า k นี้ว่า \pi

โจทย์ข้อนี้จึงเป็นการท้าทายความสามารถของนักคิดสมัยนั้นมาก
Antiphon (480 – 411 b.c.) พยายามประมาณค่าพื้นที่วงกลมโดยวาดรูปหลายเหลี่ยมขึ้นภายในวงกลม ยิ่งเป็นรูปเหลื่ยมมากขึ้น ก็จะได้พื้นที่ที่ใกล้เคียงวงกลมมากขึ้น เรียกรูปหลายเหลี่ยมนี้ว่า “the inscribed polygon”

ต่อมา Bryson (450 b.c.) พัฒนาต่อยอดจาก Antiphon โดยสร้างรูปหลายเหลี่ยมขึ้นล้อมรอบวงกลม เรียกว่าว่า “the circumscribed polygon” แล้ว claim ว่า พื้นที่ที่เราต้องการ ต้องอยู่ระหว่าง the inscribed polygon และ the circumscribed polygon หนิแหละ //แหงละ

แต่ก้าวสำคัญของปัญหา Squaring the Circle เกิดขึ้นใน 470 – 410 b.c. โดย Hippocrates of Chios ซึ่งสามารถสร้างสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับ lune (รูปจันทร์เสี้ยว ที่เกิดจากรูปวงกลม 2 วงซ้อนกัน) ได้สำเร็จ

แต่ท้ายที่สุดแล้วโจทย์ข้อนี้ก็เกือบแก้ได้ โดยเครื่องมือ 2 ชิ้น คือ

* Quadratix โดย Dinostratus และ Nicomedes

* Spiral of Archimedes โดย Archimedes

แต่อย่างไรก็ตาม เครื่องมือทั้ง 2 ก็ไม่ใช้ ไม้ยาวสำหรับขีดเส้นตรงและวงเวียน อย่างที่ยูคลิดต้องการ และ เส้นโค้งเหล่านี้ก็ไม่สามารถสร้างได้ โดยใช้ ไม้ยาวและวงเวียน ดังนั้น จึงไม่ถือเป็น plane method

แต่ท้ายที่สุดแล้วในปี 1882 Ferdinand von Lindemann พิสูจน์ว่า \pi คือ transcendental number (จำนวนอดิศัย) หรือ พูดอีกอย่างคือ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นคำตอบของสมการพหุนามใดๆที่มีดีกรีเป็นจำนวนเต็ม และถือเป็นจุดสิ้นสุดของการหาคำตอบ เพราะ straightedge และ compass สามารถไม่สามารถสร้างเส้นตรงที่ยาวเป็น transcendental number ได้

ข้อพิสูจน์ของ Ferdinand von Lindemann จึงให้ข้อสรุปว่า เราไม่สามารถวาดรูปสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมได้ ไม่ว่าจะเป็นกรณีใดๆก็ตาม ถ้าใช้เพียง straightedge และ compass

Trisecting an Angle

ปัญหาข้อนี้เริ่มต้นจากการศึกษารูปทรงต่างๆที่เรียกว่า regular polygons, รูปทรงหลายด้านที่แต่ละด้านมีความยาวเท่ากันแล้วมีมุมเท่ากันทุกมุม, แต่การสร้างรูป n เหลี่ยม ที่ต้องการนั้นเป็นเรื่องยาก เพราะมันต้องการกระบวนการในการแบ่งมุมใดๆเป็นมุม n ส่วนที่เท่าๆกัน

แน่นอนว่า นักคิดชาวกรีซพบวิธีในการแบ่งมุมใดๆเป็น 2 ส่วนเท่าๆกัน แต่อย่างไรก็ตาม ในกรณีอื่นๆมันไม่ได้ง่ายอย่างที่คิด และเกิดเป็นปัญหาที่ 2 คือ

จงหาวิธีการในการแบ่งมุมใดๆเป็น 3 ส่วนเท่าๆกัน

ในปี 250–200 B.C. Archimedes พบว่า 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ ทำให้เราสามารถแบ่งมุมเป็น 3 ส่วนได้ง่ายๆ โดยใช้วิธีการแบ่งครึ่ง แต่อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ต้องการกระบวนการที่ต่อเนื่องไม่สิ้นสุด จึงไม่เป็นที่ยอมรับ

แต่ถึงอย่างนั้น Archimedes ก็ยังเสนออีกแนวทาง เรียกว่า Neusis construction โดยใช้การเลื่อนจุดไปเรื่อยๆ เพื่อให้เกิดจุดตัดที่เราต้องการ แต่การเลื่อนจุดแบบนี้ไม่ต่างกับการใช้ marked straightedge และไม่ถือเป็น plane method เช่นกัน

ต่อมา René Descartes พบวิธีในการแบ่ง 3 มุม โดยใช้วงกลม และเส้นโค้งพาราโบล่า แต่ก็ยังไม่ใช้ plane method

นอกจากนี้ยังมีการค้นพบเครื่องมืออีกชิ้นที่ชื่อว่า Tomahawk ซึ่งเป็นรูปร่างเหมือนขวานของชาวอินเดียแดง

//จินตนาการให้แท่งยาวๆเป็นด้ามจับ มีส่วนที่เป็นครึ่งวงกลมเป็นตัวขวานนะฮะ

ถึงแม้ว่า Tomahawk จะเป็นเครื่องมือที่สามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยใช้ plane method แต่มันต้องใช้โดยการเอาไปทาบกับเพื่อให้ได้ระยะที่เราต้องการซึ่งไม่ต่างกับวิธีการ Neusis construction

แต่ท้ายที่สุด คำถามนี้ก็จบลงในปี 1837 โดย Pierre Wantzel ซึ่งแทนที่เขาจะหาวิธีการเพื่อให้ได้ผลลัพย์ แต่เขากลับสนใจที่เครื่องมือ แล้วพิสูจน์ว่า straightedge และ compass เป็นเครื่องมือที่ใช้แก้ปัญหาสำหรับทุกๆสมการพหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน 2 เท่านั้น และเขายังเพิ่มเติมอีกว่า การแบ่งมุมใดๆเป็น 3 ส่วน ก็ไม่ต่างการการแก้สมการ
cos (\theta) = 4cos^3 (\theta/3) - 3cos (\theta/3) ซึ่งเป็นสมการดีกรี 3 และเกินลิมิตความสามารถของ straightedge และ compass

Doubling a Cube

จงหาวิธีการในการสร้างลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็น 2 เท่าของปริมาตรที่กำหนดให้

สำหรับปัญหาสุดท้ายนี้ เกิดขึ้นจากตำนานของเมือง Delos โดยตำนานเล่าว่า ในสมัยนั้น เทพ Apollo ได้ส่งโรคระบาดเกิดขึ้นที่เมือง Delos จนทำให้ประชาชนต้องรวมตัวกันไปปรึกษานักพยากรณ์แห่ง Delphi เพื่อหาวิธีการแก้ คำตอบของนักพยากรณ์ คือ พวกเขาต้องขยายขนาดแท่นบูชาของเทพ Apollo เป็น 2 เท่าของปริมาตรเดิม

ซึ่งประชาชนเหล่านั้น ไม่มีใครสามารถแก้ปัญหานี้ได้ พวกเขาจึงไปปรึกษา Plato และต่อมา Plato ก็ส่งต่อไปยัง Eudoxus, Archytas และ Menaechmus เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ดูเหมือนว่า ไม่มีใครสามารถแก้ปัญหานี้ได้ โดยใช้แค่ straightedge และ compass

ต่อมา Archytas of Tarentum (428-350 b.c.) สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ โดยใช้การตัดกันระหว่างรูปทรงหลายๆอย่าง ไม่ว่าจะเป็น ทรงกระบอก(cylinder), ทรงกรวย(cone) และ พื้นที่พิเศษที่ชื่อว่า Tore/Torus

นอกจากนั้นก็ Nicomedes (280-210 b.c.) ก็ใช้เส้นโค้งที่เรียกว่า conchoid ซึ่งเส้นโค้งเดียวกันนี้ก็ยังสามารถแก้ปัญหา Trisecting an Angle ได้ด้วยเหมือนกัน

และท้ายที่สุดปัญหา Doubling a Cube ก็จบลงในปีเดียวกัน และเหตุผลเดียวกันกับ Trisecting an Angle เพราะปัญหา Doubling a Cube สามารถเชื่อมโยงไปยังสมการ x^3-2=0 ซึ่งเกินลิมิตความสามารถของ straightedge และ compass

แต่ที่น่าตื่นเต้น คือ ต่อมาในปี 1936 Margharita P. Beloch แสดงให้เห็นว่าจริงๆแล้ว แค่การพับกระดาษ (Origami) ก็สามารถแก้ปัญหานี้ และ Trisecting an Angle ได้ อย่างสบายๆ จึงถือเป็นการพิสูจน์ว่า Origami เป็นเครื่องมือที่ทรงประสิทธิภาพมากกว่า plane method //พับกระดาษครองโลก

Summary

การเดินทางขององค์ความรู้ทางเรขาคณิต ผ่านมานับ 1,000 ปี ปัญหาที่แก้ไม่ได้เหล่านี้ ทำให้เกิดการศึกษาองค์ความรู้ใหม่ๆมากมาย ไม่ว่าจะเป็น ความเข้าใจเกี่ยกับเส้นโค้ง parabola, hyperbola และ ellipse จนเอามาประยุกต์เป็นเครื่องมือ อย่าง Spiral of Archimedes

นอกจากนี้ ปัญหานี้ยังย้อนกลับไปยังคำถามที่น่าสนใจ คือ “เราไม่สามารถสร้างได้ หรือ เครื่องมือที่ใช้มีประสิทธิภาพเพียงพอ” และนั้นทำให้เราพบเครื่องมือมากมาย บางชิ้นเป็นแค่เครื่องมือง่ายๆ อย่าง ไม้บรรทัดที่มีขีดบอกระยะ หรือ การพับกระดาษ

และในท้ายที่สุด ปัญหานี้ยังทำให้เกิดการประยุกต์ความรู้ทางด้าน number theory, polynomial equation และ analytic geometry มาใช้ในงานเรขาคณิต

Science knows no country, because knowledge belongs to humanity, and is the torch which illuminates the world.

— Louis Pasteur

กราบขอขอบคุณ
Tell your friend about thisShare on Facebook
Facebook
0Tweet about this on Twitter
Twitter