/me คิดว่าหลายคนคงรู้จัก หรือ เคยรู้จักสัญลักษณ์ \pi มาเป็นอย่างดี

เดิมไอ้เจ้าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์นี้ เป็นเพียงอักษรกรีกธรรมดาตัวหนึ่ง แต่ถูกนำมาใช้แทนค่าคงที่แสดงสัดส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ William Jones ในปี 1706; A New Introduction to the Mathematics แต่ใช้กันอย่างแพร่หลาย เพราะการสนับสนุนโดย Leonhard Euler

แรกเริ่มเดิมที ค่า \pi นี้ถูกกล่าวถึงมาตั้งแต่สมัยโรมัน โดย Archimedes ซึ่งอาร์คีมีดีสพบว่าไอ้สัดส่วนที่ว่านี้เป็นค่าคงที่สำหรับทุกๆวงกลม ซึ่งนำไปสู่การคิดสูตรหาเส้นรอบรูป; 2\pi r, พื้นที่วงกลม; \pi { r }^{ 2 } และอีกมากมาย

และต่อมา \pi ก็เข้าไปเป็นส่วนสำคัญในแวดวงคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นเรื่อง Geometry, Number theory, Calculus หรือแม้กระทั้ง Complex Number theory จึงเกิดคำถามที่น่าสงสัยว่า สรุปแล้ว \pi มีค่าเท่าไรกันแน่

What is exact value of \pi ?

แน่นอนว่าหลังจากอาร์คีมีดีสค้นพบค่าคนที่ที่เรียกว่า \pi แล้ว สิ่งที่เขาคิดต่อไปก็คือคำนวนหาค่าที่แน่นอนของมัน เขาคำนวนโดยการสร้างรูปเหลี่ยม 96 ด้าน เพื่อคำนวนหาเส้นรอบรูปและเส้นผ่านศูนย์กลางเผื่อใช้แทนรูปทรงกลม และนี้ก็คือสิ่งที่อาร์คีมีดีส ค้นพบ

\frac { 223 }{ 71 } <\quad \pi \quad <\frac { 22 }{ 7 }

สำหรับใครที่สนใจ วิธีการของอาร์คีมีดีสเพิ่มเติม ก็ไปลองดูตามคลิปนี้ฮ๊าฟ

นอกจากอาร์คีมีดีส ในยุคของอียิปต์โบราณก็มีการคำนวน และใช้ค่า \pi \approx \frac { 22 }{ 7 } กันอย่างแพร่หลาย หรือแม้กระทั้งในจีน มีการพบบันทึกค่า \pi \approx 3.1547 และในภายหลังนักคิดชาวจีนในศตวรรษที่ 3 ยังสามารถพัฒนา Polygon-based Iterative Algorithm ซึ่งทำให้สามารถคำนวนค่า \pi ได้ถูกต้องถึง 7 หลัก ถือเป็นค่า \pi ที่ละเอียดที่สุดนี้ในช่วงนั้น และถือครองตำแหน่งนี้เป็นเวลายาวนานถึง 800 ปีเลยทีเดียว

WHAT?
I don’t want any approximations of \pi!!!
I NEED the exact value.

สำหรับค่าที่แท้จริงของ \pi พึ่งมีการศึกษาในศตวรรษที่ 16-17 หลังจากนักคณิตศาสตร์พัฒนาสิ่งที่เรียกว่า อนุกรมอนันต์ หรือ infinite series ขึ้นมา โดยนักคณิตศาสตร์หลายคนพบว่าค่า \pi สามารถแทนได้ด้วยอนุกรมอนันต์เฉพาะบางอย่างได้ นำไปสู่การค้นพบ Gregory–Leibniz series

\pi =\frac { 4 }{ 1 } -\frac { 4 }{ 3 } +\frac { 4 }{ 5 } -\frac { 4 }{ 7 } +\frac { 4 }{ 9 } +...\quad

WTF!!

แต่เจ้า Gregory–Leibniz series นี้ ถึงแม้ว่าสามารถคำนวนค่า \pi ได้ถูกต้อง แต่หากต้องการความถูกต้อง 5 หลัก ต้องอาศัยการคำนวนมากถึง 500,000 พจน์ seriously!

หลังจากนั้นก็มีการคิดอนุกรมใหม่ขึ้นมาเพื่อแก้ไขปัญหานี้ เช่น Nilakantha’s series

\pi =3+\frac { 4 }{ 2\times 3\times 4 } -\frac { 4 }{ 4\times 5\times 6 } +\frac { 4 }{ 6\times 7\times 8 } -\frac { 4 }{ 8\times 9\times 10 } +...

ซึ่งเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าหาค่า \pi ได้อย่างรวดเร็ว นอกจากนี้ก็ยังมี Machin’s series, Chudnovsky’s series and so on.

ความจริงแล้ว แม้กระทั้ง Newton ผู้คิดค้น Calculus เองก็ยังเคยคำนวนค่า \pi ด้วยเหมือนกัน (แถมคำนวนได้ตั้ง 15 หลักแหนะ)

I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time.

— Newton said after published his \pi

ในภายหลัง ก็เข้าสู่ยุคคอมพิวเตอร์ เราจึงสามารถคำนวนค่า \pi ได้อย่างรวดเร็วมากขึ้น แต่ดูเหมือนว่าจากการคำนวนเราพบว่า มันเต็มไปด้วยทศนิยมไม่ซ้ำกันเลย และยาวยืดไปไม่สิ้นสุดซะด้วย

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923…

อ้างอิง

จากวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียนกันมาตั้งแต่สมัยมัธยม พวกเราเรียนรู้ที่จะแทนค่า \pi ด้วยตัวเลข \frac {22}{7} แต่ดูเหมือนว่าความจริงแล้วค่าๆนี้ไม่ใช่ค่าที่แท้จริงของ \pi แต่เป็นแค่การประมาณคร่าวๆของ \pi ซึ่งมีมาตั้งแต่ยุคอียิปต์โบราณ

แล้วเจ้า \pi ควรเป็นค่ามาจากสัดส่วนเท่าไรดี?

\frac {333}{106} หรือ

\frac {355}{113} หรือ

\frac {52163}{16604} หรือ

\frac {103993}{33102}

แต่ดูเหมือนว่าทั้งหมดล้วนไม่ใช่ค่า \pi ที่ถูกต้อง

WHY?

ในปี 1761 Johann Heinrich Lambert พบว่า จริงๆแล้วเราไม่สามารถแทนค่า \pi ด้วยสัดส่วนของจำนวนเต็มใดๆได้ หรือพูดเป็นภาษาทางการว่า “\pi ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ” และนั้นยังหมายถึง \pi เป็นเลขที่มีทศนิยมไม่ซ้ำไปเรื่อยๆ แม้ว่าปัจจุบัน[11/11/2016] มีการคำนวนค่า \pi ได้ถึง 22,459,157,718,361 หลัก แล้วก็ตาม

//แล้วจะคำนวนไปทำไม?

และนอกจากนี้แล้ว Adrien-Marie Legendre ก็ยังพิสูจน์แล้วพบอีกว่า { \pi  }^{ 2 } ก็ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน โอเคๆๆ เข้าใจตรงกันนะ พลังของ \pi 555

แต่แค่นี้ยังไม่พอในปี 1882 Ferdinand von Lindemann ยังพบต่อไปอีกว่า นอกจาก \pi ไม่สามารถแทนค่าได้ด้วย \frac {a}{b} โดยมี a,b เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว เรายังไม่สามารถหาจุดที่แน่นอนของ \pi บนเส้นจำนวนโดยใช้แค่ไม้บรรทัดและวงเวียน หรือ มันมีความเป็นตัวเลขอดิศัยนั้นเอง

นี้เป็นแค่คุณสมบัติเล็กๆน้อยๆของค่า \pi

ไม่น่าเชื่อว่าแค่ตัวเลขเล็กๆตัวเดี๋ยวก็วุ่นวายมากขนาดนี้

What Next…

ดูๆแล้ว \pi เป็นหนึ่งในตัวเลขที่แปลกประหลาด ไม่สามารถหาสัดส่วนที่แน่นอนไม่ได้ แถมยังหาจุดที่แน่นอนบนเส้นจำนวนไม่ได้ แต่อย่างไรก็ตาม \pi ก็สำคัญต่อชีวิตประจำวันของเรา และแค่จุดกำเนิดของ \pi ก็ให้ความรู้มากมาย แม้เวลาผ่านมาแล้วเป็น 1,000 ปี

ยอมรับว่า บล๊อคนี้เป็นบล๊อคที่ตั้งใจจะเขียนพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ \pi แต่กลายเป็นความเป็นมาของ \pi ไปซะได้ 555

แต่บล๊อคหน้าจะตั้งใจเขียนพิสูจน์จริงๆละ ฮึ๊บๆๆ

//พึ่งใช้ Latex บน WordPress ครั้งแรก ตื่นเต้นๆๆ ที่จริงบทความนี้ดองไว้นานมากๆ เพราะว่าขี้เกียจเขียน Latex หนิแหละ 555

Tell your friend about thisShare on Facebook
Facebook
0Tweet about this on Twitter
Twitter